کاوش موضوع مشتق

مُشتَق (به انگلیسی: Derivative) روشی ریاضی است برای دیدن و اندازه‌گیری تغییرات آنی و لحظه‌ای در پدیده‌ها. مشتق (به معنی برکشیده) یکی از مفاهیم اصلی در ریاضیات و به‌ویژه در حسابان است. ایدهٔ اصلی مشتق آن است که نشان دهد «یک چیز در همان لحظه چه‌قدر تغییر می‌کند». به‌بیان ساده، مشتق یعنی نرخ تغییر. برای مثال، اگر مسافت طی‌شدهٔ یک خودرو در طول زمان معلوم باشد، با استفاده از مشتق می‌توان سرعت آن خودرو را در هر لحظه به‌دست آورد. یعنی اگر بدانیم ماشین در ۲ ساعت، ۱۲۰ کیلومتر حرکت کرده، می‌توانیم میانگین سرعت را حساب کنیم (۶۰ کیلومتر در ساعت). اما اگر بخواهیم بدانیم دقیقاً در دقیقهٔ ۳۰ یا ثانیهٔ ۱۰ چه سرعتی داشته، از مشتق استفاده می‌کنیم. مشتق مانند ذره‌بین عمل می‌کند و تغییرات آنی را آشکار می‌سازد. مفهوم مشتق از مشاهدهٔ طبیعت و حرکت به‌وجود آمد. انسان‌ها برای درک دقیق‌تر از سرعت، شتاب، یا تغییرات دما و فشار نیاز داشتند ابزاری بسازند که «تغییر لحظه‌ای» را نشان دهد. مشتق این امکان را فراهم می‌کند. میانگین سرعت را به سادگی می‌توان حساب کرد: مسافت کل تقسیم بر زمان کل. مثلاً ۱۲۰ کیلومتر در ۲ ساعت به ۶۰ کیلومتر در ساعت. اما سرعت لحظه‌ای (مثلاً در دقیقهٔ ۱۰) را مستقیم نمی‌توان با تقسیم ساده پیدا کرد. برای این کار باید مسافت را در بازه‌های خیلی کوچک اطراف همان لحظه بررسی کنیم. ریاضی‌دانان این کار را با حد انجام می‌دهند. یعنی می‌گویند: اگر مسافت طی‌شده بین دقیقهٔ ۱۰ و ۱۰٫۱ را حساب کنیم و تقسیم بر زمان کنیم، یک سرعت نزدیک به سرعت واقعی در دقیقهٔ ۱۰ به‌دست می‌آوریم. حالا اگر این بازه را کوچک‌تر و کوچک‌تر کنیم (۱۰ تا ۱۰٫۰۱، ۱۰ تا ۱۰٫۰۰۱ و …)، عددی که به‌دست می‌آید به همان سرعت لحظه‌ای نزدیک‌تر می‌شود. وقتی این بازه بی‌نهایت کوچک شود، نتیجه دقیق همان «مشتق» است. بنابراین، برای فهمیدن سرعت در لحظهٔ خاص، باید مسافت طی‌شده در یک بازهٔ خیلی ریز اطراف آن لحظه را حساب کنیم و نسبتش را به زمان بگیریم. هر چه بازه کوچک‌تر شود، جواب به سرعت واقعی نزدیک‌تر می‌شود. این همان فلسفهٔ مشتق است. کاربردهای مشتق بسیار گسترده‌اند. در فیزیک برای اندازه‌گیری سرعت و شتاب، در اقتصاد برای بررسی تغییر قیمت‌ها یا سود در یک لحظه، و در زیست‌شناسی برای بررسی نرخ رشد جمعیت یا تغییرات واکنش‌های شیمیایی به‌کار می‌رود.... بیشتر در ویکی پدیا